Problem 136
Discover when the equation x² − y² − z² = n has a unique solution.
正整数x,y,z是等差数列,对给定的正整数n,判断x^2-y^2-z^2=n是否只有唯一解
求n<50,000,000中上式只有唯一解的n的个数

和Problem 135很像啊…
用相同的方法试试…
只不过从求f(n)=10的个数变成了f(n)=1的个数
6秒出结果…

Problem 137
Determining the value of infinite polynomial series for which the coefficients are Fibonacci numbers.
无穷级数AF(x)=x*F1+x²*F2+x³*F3+…
其中Fk是第k个菲波那契数,F1=1,F2=1
求使AF(x)为正整数的第15个有理数x所对应的AF(x)的值

先看看级数收敛成什么样吧…

AF(x)/x - AF(x) = F1+x*(F2-F1)+x2*(F3-F2)+...
                = F1+x*F0+x2*F1+x3*F2+...
因为F1=1,F0=0
AF(x)/x - AF(x) - 1 = x2*F1+x3*F2+...
                    = x*AF(x)
AF(x)*(1/x-1-x)=1
AF(x)=1/(1/x-1-x)=x/(1-x-x2)

原来是这么一个式子…
那么现在需要x是有理数,AF(x)是正整数…

设AF(x)=y
y*(1-x-x2)=x
x2*y+x(y+1)-y=0
x=(-(y+1)+sqrt((y+1)2+4*y*y))/(2*y)

使x为有理数就必须让根号内的数是完全平方数
(y+1)²+4*y*y=(y+1)²+(2*y)²
啊…好像勾股数耶…
不过按本源勾股数来的话结果漏掉一些有效解…而且数字太大…吃不消…

于是换个方法,先枚举测试较小值看看有什么方法…

1:2
2:15
3:104
4:714
5:4895
6:33552
7:229970
8:1576239
9:10803704
10:74049690

拿去att搜索一下发现有个叫做golden rectangle的东西…
啊…难道就是这个数列的偶数项吗…?
这种数的公式是:F(n)*F(n+1)

然后又发现了这个数列
答案居然直接在上面…

Problem 138
Investigating isosceles triangle for which the height and base length differ by one.
等腰三角形,底边为b,腰为L,高为h
求最小的12个等腰三角形的L的和,满足h=b土1
其中b,L,h为正整数

总之先搞来勾股数然后一一判断看看…
两直角边如果满足一边与另一边的两倍的差是1的话就行了
似乎底边,也就是b,必须是偶数?

发现这数的增长速度真快…
拿L的前几项去att搜了一下…发现是这个数列

理由呢?
好像这种数有个特性…5*L²-1是完全平方数…
验证下是不是满足题目中的三角形…

设a=b/2
那么由等腰三角形的性质可得:
L2=a2+(2*a土1)2
=5*a2土4*a+1
5*L2-1=25*a2土20*a+4=(5*a土2)2

啊…果然如此…

Problem 139
Finding Pythagorean triangles which allow the square on the hypotenuse to be tiled.
用四个直角三角形拼成一个正方形,外加中间一个正方形的洞
用中间的洞的大小的小正方形能填充大正方形的区域的话,就算成功
问周长在100,000,000以内的直角三角形有几个能成功

(a,b,c)用c边拼大正方形,中间的洞的正方形边长是(b-a)
只要c能被(b-a)整除就能成功
生成勾股数然后判断就行了
只要注意到本源勾股数能成功的话,它的任何倍数都会成功
而本源勾股数不能成功的话,它的任何倍数都不会成功

Problem 140
Investigating the value of infinite polynomial series for which the coefficients are a linear second order recurrence relation.
类似Problem 137
无穷级数AG(x)=x*G1+x²*G2+x³*G3+…
其中Gk是一个广义菲波那契数列的第k个数,G1=1,G2=4
求使AG(x)为正整数的前30个有理数x所对应的AG(x)的值的和

老规矩…看看级数如何收敛

AG(x)/x - AG(x) = G1+x*(G2-G1)+x2*(G3-G2)+...
                = G1+x*G0+x2*G1+x3*G2+...
因为G1=1,G0=3
AG(x)/x - AG(x) - 1 = x*3+x2*G1+x3*G2+...
                    = x*3+x*AG(x)
AG(x)*(1/x-1-x)=1+x*3
AG(x)=(1+x*3)/(1/x-1-x)=(x+3*x2)/(1-x-x2)

那么现在需要x是有理数,AG(x)是正整数…

令AG(x)=y
y*(1-x-x2)=x+3*x2
x2*(3+y)+x*(1+y)-y=0
x=(-(1+y)+sqrt((1+y)2+4*y*(3+y)))/(2*(3+y))
根号内要是完全平方数
(1+y)2+4*y*(3+y)=1+2*y+y2+12*y+4*y2
                 =5*y2+14*y+1

枚举测试较小数的话…

1:2
2:5
3:21
4:42
5:152
6:296
7:1050
8:2037
9:7205
10:13970
11:49392
12:95760
13:338546
14:656357
15:2320437

这回在att上搜不到了,但是因为Problem 137最后是菲波那契数列相乘的形式,所以这回试着对这些数做做差找找规律
结果很快就发现了这样的规律
y3=y2+G5+F3
y4=y3+G6-F3
y5=y4+G9+F7
y6=y5+G10-F7
y7=y6+G13+F11
y8=y7+G14-F11
..
其中Fk是第k个菲波那契数,F1=1,F2=1

剩下的就是递推了,答案正确